Профиль » Публикация

Аннотация В работе рассматривается случайный тригонометрический полином $ T(x)=sum _{j=0}^{n-1}xi _j exp (ijx) $, где ξ , ξ j -- действительные независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевыми средними, с положительными вторыми и конечными третьими абсолютными моментами, и доказывается теорема. Теорема. Для любого ε ∈ (0,1) и при $ n>(C(xi ))^{7654/varepsilon ^3} $ $$ mathsf{Pr} iggl (min _{xin mathbb{T} iggl |sum _{j=0}^{n-1}xi _j exp (ijx) iggr |>n^{-frac {1}{2}+varepsilon }iggr )leq frac {1}{n^{varepsilon ^2/62}}, $$ где константа C( ξ ) определяется в работе. Для доказательства теоремы используется метод нормального порядка и устанавливаются оценки вероятностей событий Ek, k ∈ N, 0 < k < (k0)/2, и их попарных пересечений, причем события Ek определяются случайными векторами X: $$ X=(Re T(x k),ldots ,Re (T (r-1)(x k)/(in) r-1), Im T(x k),ldots ,Im (T (r-1)(x k)/(in) r-1)), $$ где r выбирается как натуральное число, такое что 10/(ε) < r < 11/(ε) для заданного ε, а xk=(2 π k)/(k0), причем k0 -- наибольшее простое, не превосходящее n1-(ε)/20. Для нахождения этих оценок предварительно выводятся неравенства для многочленов, с помощью которых устанавливаются свойства характеристических функций случайных векторов X и их попарных объединений.