Профиль » Публикация

Аннотация Статья посвящена следующей задаче. Пусть на плоскости отмечены две точки A и B и задано натуральное число n. Наша цель -- построить на прямой, проходящей через эти точки, третью точку C так, чтобы длина AC была в n раз больше длины AB, с помощью линейки и (или) циркуля (при этом прямая AB считается проведённой). На каждом шаге мы можем либо проводить линейкой прямую через две отмеченные точки, либо окружность с центром в отмеченной точке радиуса, равного расстоянию между отмеченными точками. При пересечении проведённых прямых и окружностей возникают новые отмеченные точки. Обозначим через Ц(n) минимальное число шагов, необходимое при решении задачи одним циркулем, а через ЦЛ(n) -- необходимых при решении её циркулем и линейкой. Задача заключается в оценке асимптотического поведения функций Ц(n) и ЦЛ(n). Основной результат работы заключается в следующем: существуют такие константы c1,c2 > 0, что: а) c1 ln n ≤ Ц(n) ≤ c2 ln n, б) c1 ln ln n ≤ ЦЛ(n) ≤ c2ln n/ln ln n. Наиболее интересный результат получается при нижней оценке функции ЦЛ(n), где совершенно неожиданно возникают чисто алгебраические понятия, такие как высота числа и др.