Профиль » Публикация

Аннотация Пусть Q -- многообразие алгебр. Для каждого многообразия Q и каждой алгебры H из Q можно рассмотреть алгебраическую геометрию многообразия Q над алгеброй H. Мы также рассматриваем специальный категорный инвариант KQ(H) этой геометрии. Классическая алгебраическая геометрия имеет дело с многообразием Q = Com-P всех ассоциативных и коммутативных алгебр над некоторым полем констант P. Алгебра H в этих обозначениях является расширением базисного поля P. Геометрия в группах связана с многообразиями Grp и Grp-G, где G -- группа констант. Случай Grp-F, где F -- свободная группа, связан с проблемами Тарского, посвящённым логике свободной группы. Описываемое общее понимание алгебраической геометрии в различных многообразиях алгебр инспирирует некоторые новые проблемы в алгебре и алгебраической геометрии. Задачи такого типа в большой степени определяют содержание универсальной алгебраической геометрии. Например, общей и естественной задачей является следующая: когда алгебры H1 и H2 имеют одну и ту же геометрию? Или, более точно, каковы условия на алгебры из данного многообразия Q для того, чтобы алгебраические геометрии над ними совпадали? Мы рассматриваем два варианта совпадения: 1) KQ(H1) и KQ(H2) изоморфны; 2) данные категории эквивалентны. Эта проблема напрямую связана со следующей общей алгебраической проблемой. Пусть Q0 -- категория всех свободных в многообразии Q алгебр W = W(X), где X конечно. Рассматриваются группы автоморфизмов Aut(Q0), а также группы автоэквивалентностей категории Q0. Проблемой является описание этих групп для разных Q.