Профиль » Публикация

Аннотация Пусть A и B -- (n ´ n)-матрицы. Для множества индексов S Ì {1,¼,n} обозначим через A(S) главную подматрицу, лежащую в строках и столбцах, занумерованных элементами S. Обозначим через S' дополнение к S и определим h (A,B) = åSdet A(S) det B(S'), где суммирование ведётся по всем подмножествам {1,¼,n} и считается, что det A(Æ) = det B(Æ) = 1. К. Р. Джонсон предположил, что если A и B -- эрмитовы матрицы и матрица A является неотрицательно определённой, то многочлен h (lA, -B) имеет только вещественные корни. Г. Рублейн и Р. Б. Бапат доказали, что это верно при n £ 3. Бапат также доказал соответствующий результат для любых n при дополнительном предположении, что обе матрицы A и B являются трёхдиагональными. В этой работе некоторые мало известные результаты о характеристических многочленах и присоединённых матрицах деревьев обобщены на матрицы, графом которых является фиксированное дерево. Доказана гипотеза для любого n при дополнительном предположении, что обе матрицы A и B являются матрицами, граф которых -- дерево.