Профиль » Публикация

Аннотация Невырожденная m-пара (A, X) в n-мерном проективном пространстве RPn состоит из m-плоскости A и не пересекающей её (n - m - 1)-плоскости X в RPn. Совокупность $mathfrak Nmn$ всех невырожденных m-пар в RPn является 2(n - m)(n - m - 1)-мерным вещественно-аналитическим многообразием. Многообразие $mathfrak Nmn$ является однородным пространством $mathfrak Nmn = GL(n + 1, R)/GL(m + 1, R) × GL(n - m, R)$, на котором внутренним образом определена келерова структура гиперболического типа. Таким образом, многообразие $mathfrak Nmn$ является гиперболическим аналогом комплексного грассманиана CGm,n = U(n + 1)/U(m + 1) × U(n - m). В частности, многообразие 0-пар $mathfrak N0n = GL(n + 1, R)/GL(1, R) × GL(n, R)$ является гиперболическим аналогом комплексного проективного пространства CPn = U(n + 1)/U(1) × U(n). Как и CPn, многообразие $mathfrak N0n$ является келеровым многообразием постоянной ненулевой голоморфной секционной кривизны (но относительно гиперболической метрики). В этом смысле $mathfrak N0n$ -- гиперболическая пространственная форма. Было доказано, что многообразие 0-пар $mathfrak N0n$ глобально симплектоморфно тотальному пространству T*RPn кокасательного расслоения над проективным пространством RPn. Обобщение этого результата состоит в том, что многообразие невырожденных m-пар $mathfrak Nmn$ глобально симплектоморфно тотальному пространству T*RGm,n кокасательного расслоения над грассмановым многообразием RGm,n m-мерных подпространств пространства RPn. В настоящей работе изучается каноническая келерова структура на $mathfrak Nmn$. Даётся описание двух типов подмногообразий на $mathfrak Nmn$, являющихся естественными гиперболическими пространственными формами, которые голоморфно изометричны многообразиям 0-пар в RPm+1 и в RPn - m соответственно. Доказано, что через каждую точку многообразия $mathfrak Nmn$ проходит 2(n - m)-параметрическое семейство 2(m + 1)-мерных гиперболических пространственных форм первого типа и 2(m + 1)-параметрическое семейство 2(n - m)-мерных гиперболических пространственных форм второго типа. Более того, доказано, что естественные гиперболические пространственные формы первого типа на $mathfrak Nmn$ находятся в биективном соответствии с точками многообразия $mathfrak Nm+1n$, а естественные гиперболические пространственные формы второго типа на $mathfrak Nmn$ находятся в биективном соответствии с точками многообразия $mathfrak Nm-1n$.