Профиль » Публикация

Аннотация Дана аксиоматическая версия классической теоремы Хелли о пересечении выпуклых подмножеств Rm, которая содержит в себе различные формы как геометрической, так и топологической теоремы Хелли. Вместо пространства Rm рассматривается произвольное нормальное пространство X, когомологической размерности (по заданной группе G) не больше m и с нулевой m-мерной группой когомологий. Вместо выпуклых подмножеств рассматриваются замкнутые ациклические подпространства и вместо условия на пересечение накладываются (получаются) условия на значения произвольных простейших булевых функций. В крайних случаях (рассматриваются только операции объединения или пересечения) условия звучат так: для любых k множеств семейства, при k £ m+1, или их общее пересечение имеет тривиальные когомологии во всех размерностях не больше m-k, или их общее объединение имеет тривиальные когомологии во всех размерностях из {k-2, ¼, m-1}. Тогда доказывается, что любое подпространство, полученное из подпространств семейства операциями пересечения и объединения, не пусто и ациклично. Для всякого конечного замкнутого покрытия m-мерной сферы пересечение некоторых (m+2) элементов пусто или для некоторого k £ m+1 существуют такие k элементов покрытия, пересечение которых имеет нетривиальные (m+1-k)-мерные когомологии. Полученные результаты справедливы для произвольного нормального пространства конечной когомологической размерности, но являются частично новыми даже в случае плоскости. В частности, закрывается (частично) пробел в доказательстве плоской топологической теоремы Хелли 1930 года для сингулярных клеток. Именно, если в семействе плоских компактов объединение любых двух компактов линейно связно, а объединение любых трёх односвязно, то пересечение всех компактов не пусто. Показано, что если в семействе плоских односвязных континуумов Пеано пересечение любых двух континуумов связно, а пересечение любых трёх не пусто, то всякий компакт, получающийся из континуумов семейства операциями пересечения и объединения (в конечном числе), является непустым односвязным континуумом Пеано. Аналогично, если в семействе плоских односвязных континуумов Пеано объединение любых двух и любых трёх континуумов односвязно, то всякий компакт, получающийся из континуумов семейства операциями пересечения и объединения (в конечном числе), является непустым односвязным континуумом Пеано. Аналогичные утверждения верны, если рассматривать класс неразбивающих плоскость континуумов.